一次分数型漸化式の帰納法による証明方法

一次分数型の漸化式の証明において、帰納法を用いる方法について解説します。特に、自然数nに対してan≠0であることを示す方法について詳しく説明します。

一次分数型の漸化式とは？

一次分数型の漸化式は、一般的に次のような形をとります。

an+1 = (p * an + q) / (r * an + s) ここで、p, q, r, s は定数であり、an は数列の一般項を示します。漸化式を解く際、数列の項がどう変化するかを求めるために帰納法を用います。

帰納法による証明は、次の2つのステップに分かれます。

一次分数型漸化式において、帰納法を適用する際に重要なのは、式の分母が0にならないことを確認することです。分母が0であれば、式が定義されなくなります。したがって、帰納法を用いることで、全ての項が非ゼロであることを証明します。

一次分数型漸化式において「an≠0」を証明するためには、まず初期項a1が非ゼロであることを確認し、その後、漸化式に従って次の項an+1も非ゼロであることを帰納法で証明します。これにより、数列の全ての項が非ゼロであることを示せます。

一次分数型の漸化式における帰納法による証明は、基底の確認と帰納ステップを正しく踏むことで、数列の各項が非ゼロであることを示すことができます。この方法を使うことで、漸化式の解法や証明が確実に進められます。