この問題では、xy平面上の円Cと直線L、点Aと点Bからなる円錐面Kについて考え、平面αで切った断面の曲線Dが放物線になる条件を求める方法を解説します。具体的に、aの値とその放物線の頂点Eの座標、焦点Fまでの距離EFを求め、最後に放物線の形がxy平面上のy=(1/√◯)x^2と合同であることを確認します。
1. 問題の理解
まず、円C:x^2 + y^2 = 4と直線L:x = a(>0)、z軸上の2点A(0,0,1)とB(0,0,2)が与えられています。これらの条件をもとに、C上の動点Pと点Bを結ぶ直線が動いてできる円錐面Kを考え、平面αで切った断面の曲線Dを求めます。
2. 放物線の条件を求める
円錐面Kを平面αで切ると、断面が放物線になる条件を導きます。平面αは直線Lを含み、点Aを通ります。これをもとに、Dが放物線になるためのaの値とその放物線の頂点Eの座標を求めます。放物線の方程式を求めるために、幾何学的な解法と計算を行います。
放物線が成立する条件として、aの値を求め、その結果から放物線の方程式が求まります。
3. 放物線の焦点FとEFの距離
次に、放物線の焦点Fを求め、頂点Eと焦点Fの距離EFを計算します。放物線の焦点は、放物線の定義に基づいて求めることができます。焦点を求めた後、EFの長さを計算して解答します。
焦点Fを求めるために、放物線の一般的な性質を利用し、距離EFを求めるための計算を行います。
4. 放物線の形と合同性
最後に、放物線の形がxy平面上のy=(1/√◯)x^2と合同であることを示します。この部分では、放物線の変換について考え、合同であることを証明するために、必要な変換式と証明を行います。
放物線がxy平面上のy=(1/√◯)x^2と合同であることを示すために、座標変換を用いて証明を進めます。
5. まとめ
この問題では、円錐面の断面を平面で切ることで放物線の条件を求め、頂点Eの座標と焦点Fの位置を計算しました。また、放物線の形がxy平面上のy=(1/√◯)x^2と合同であることを示しました。問題の解法を通して、数学の基本的な定理や計算技術を学ぶことができました。
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