二次関数の頂点の座標はなぜ(-b/2a, -D/4a)で表されるのか？

二次関数の頂点の座標を求める方法について、-b/2a や -D/4a という式がどのようにして導かれるのかを解説します。特に、この式がどのようにしてすべての二次関数に適用されるのかを理解することが重要です。

1. 二次関数の基本形と頂点の定義

二次関数の一般的な形は f(x) = ax² + bx + c です。この関数のグラフは放物線となり、頂点はその放物線の最小値または最大値が取られる点です。二次関数の頂点は、放物線の左右対称性から求めることができます。

二次関数の頂点の座標は、x座標が -b/2a であり、y座標は -D/4a で求めることができます。ここで、D は判別式であり、D = b² – 4ac です。判別式 D の値によって、頂点が放物線上でどの位置にあるかが決まります。

これらの式がどのように導かれるのかを理解するためには、二次関数を平方完成して、その結果を利用する方法を学ぶことが重要です。

平方完成の手法を使うと、ax² + bx + c の形を (x + p)² + q の形に変形することができます。この変形を行うと、頂点の座標が直接求められるようになります。具体的には、-b/2a という式で x 座標を求め、-D/4a で y 座標を求めることができます。

例えば、f(x) = 2x² – 4x + 1 という関数を考えてみましょう。この関数の頂点を求めるとき、まず -b/2a を使って x 座標を求め、その後 -D/4a を使って y 座標を求めることができます。この方法で、任意の二次関数に対しても頂点を簡単に求めることができます。

二次関数の頂点の座標は、-b/2a および -D/4a の公式で求めることができます。この公式はすべての二次関数に適用可能で、平方完成という方法から導かれたものです。これを理解することで、より多くの数学的問題を解くことができるようになります。