大学数学の問題であるlimx→1(1-x)tan(xπ/2)=2/πの理由について、詳細に解説します。この式の導出には、極限を理解するための基本的な考え方やテクニックを使用します。今回は、この問題がなぜ成り立つのか、ステップバイステップで解説していきます。
1. 問題の構造とその意味
まず、与えられた問題式を見てみましょう。
limx→1(1−x)tan(xπ/2)=2/π
この式の目的は、x→1のときにこの極限が2/πであることを証明することです。ここで、問題に登場するtan(xπ/2)という関数が重要な役割を果たします。
2. tan(xπ/2)の特性について
tan(xπ/2)は、x=1で非常に特異な挙動を示します。xが1に近づくと、tan(xπ/2)は急激に大きくなり、無限大に向かって発散します。特に、x→1の時、π/2という角度においてtanは無限大となりますが、この性質を利用して、極限を計算することが可能です。
3. 式の簡略化と極限の計算
次に、(1-x)tan(xπ/2)という形を簡略化します。この時、(1-x)という項がtan(xπ/2)の急激な増加を相殺する役割を果たします。この相殺によって、極限値が有限の値に収束するのです。
実際に計算すると、次のように展開できます。
limx→1(1−x)tan(xπ/2) = limx→1(1−x) * (1/[(cos(xπ/2))²])
ここで、cos(xπ/2)の特性を考慮していくつかの近似を使用することで、最終的に2/πという値に収束することが確認できます。
4. 具体的な計算手法と近似の使用
この問題を解くために必要な重要なテクニックは、極限を計算する際に利用する近似です。xが1に近づくとき、tan(xπ/2)の増加速度と(1-x)の減少速度をうまく組み合わせることで、最終的に2/πという結果を得ることができます。
実際には、リミットの定義に基づき、x→1の近似を利用して計算を行います。リミットの定義においては、関数の収束を調べる際に、指数的な挙動や無限大の挙動を正確に評価する方法が不可欠です。
5. まとめ：なぜ2/πになるのか
最終的に、limx→1(1−x)tan(xπ/2)が2/πになる理由は、(1-x)とtan(xπ/2)の相互作用によるものです。xが1に近づくにつれて、(1-x)は0に近づき、tan(xπ/2)は無限大に向かうが、その増加速度を相殺する形で極限が2/πに収束するという結果が得られます。
この問題を理解することで、極限の計算における近似技法や、無限大の取り扱い方について深く学ぶことができます。
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