3次方程式の解に関する問題の解法：α, β, γの値を求める方法

今回は、3次方程式 x^3 – x^2 + 2x + 1 = 0 の解を求める問題について解説します。この問題では、解の性質に基づいて特定の式の値を求めることや、係数が4倍された新しい3次方程式を求める課題が含まれています。以下に、問題を段階的に解決する方法を示します。

① α + 1/β + β + 1/γ + γ + 1/α の値を求める

与えられた方程式 x^3 – x^2 + 2x + 1 = 0 の解を α, β, γ とします。この場合、問題で求められている式は次のようになります。

(α + 1/β) + (β + 1/γ) + (γ + 1/α)

これを整理すると、次のような形になります。

α + β + γ + (1/α + 1/β + 1/γ)

ここで、解の和や積に関する基本的な性質を使用して計算を進めます。3次方程式の解の和は、方程式の係数から求めることができ、次のように整理できます。

α + β + γ = 1 （係数から得られる解の和）

また、解の積に関する関係式を使用して、1/α + 1/β + 1/γ を求めます。この計算を進めることで、最終的に問題の式の値を求めることができます。

次に、4α, 4β, 4γ が解になる3次方程式を求めます。この問題では、与えられた方程式の解を4倍する必要があります。

元の方程式の解が α, β, γ であるため、新しい方程式は次の形になります。

x^3 – (α + β + γ)x^2 + (αβ + βγ + γα)x – αβγ = 0

この方程式を x’ = 4x に置き換えた後、解を4倍した新しい方程式を作ります。これにより、求める新しい3次方程式を導くことができます。

この問題では、与えられた3次方程式の解に基づいて、特定の式の値を求めるとともに、解が4倍された新しい方程式を求める方法を学びました。解の和や積を使うことで、効率よく解を求めることができます。