ルベーグ積分における積分の不等式：∫ fg dμ ≧ ∫ f dμ・∫ g dμ の証明

ルベーグ積分に関する問題で、非減少関数 f, g について、積分の不等式 ∫ fg dμ ≧ ∫ f dμ・∫ g dμ を示す方法を解説します。この問題では、確率測度 μ_i を使用して積分を計算し、積分の不等式が成り立つことを示す必要があります。

問題の概要

与えられた条件は、関数 f, g : R^n → R が非減少関数であり、μ_i は R 上の確率測度、μ は μ_1 から μ_n の積測度であるというものです。求めるべきは、次の不等式が成り立つことを示すことです。

∫ fg dμ ≧ ∫ f dμ・∫ g dμ

まず、この不等式がなぜ成り立つのかを、積分の性質と確率測度に関する基本的な理論を使って解いていきます。

非減少関数の特性

非減少関数は、任意の x1, x2 において x1 < x2 ならば f(x1) ≦ f(x2) が成り立つ関数です。この特性を利用すると、積分の積の形式が不等式の成立にどのように寄与するかを考えることができます。具体的には、f と g の積 fg の積分が、個別に f と g を積分した値の積よりも大きいか等しいことを示す必要があります。

ここで重要なのは、確率測度 μ が使われている点です。確率測度は、測度空間上で「確率的な重み付け」を与えるものであり、f と g の積の積分を個別の積分に分解する際に有用です。

積分の不等式の証明手順

積分の不等式を示すためには、f と g が可積分であり、それぞれの積分が確率測度 μ によって適切に評価されることを示さなければなりません。積分の積に関する不等式を証明するために、まず分解積分法やモンテカルロ法を適用する方法があります。

具体的には、次の手順で証明を進めます。

• f と g の積 fg の積分を適切に分解する。
• 確率測度 μ の特性を利用して、積分を個別に扱う。
• 結果として、∫ fg dμ ≧ ∫ f dμ・∫ g dμ という不等式が成り立つことを示す。

まとめ

ルベーグ積分における積分の不等式 ∫ fg dμ ≧ ∫ f dμ・∫ g dμ を示すためには、非減少関数の性質を利用し、積分の分解法と確率測度の特性を理解することが重要です。この不等式は、確率論や測度論における基本的な理論の一部であり、関数の積に関する積分の性質を深く理解するために役立ちます。