n² - 20n + 91の値が素数になる自然数nの解法

この問題では、式n² – 20n + 91が素数になるような自然数nを求める問題です。A君が思いついたように、因数分解を利用してnの値を絞り込むことが解法の鍵となります。

1. 問題の整理

まず、与えられた式n² – 20n + 91が素数になるnを求めるためには、式が素数である条件を満たす必要があります。

まず、式n² – 20n + 91を因数分解の形に変形できるか考えます。

n² – 20n + 91は平方完成を利用して次のように変形できます。

n² – 20n + 91 = (n – 10)² + 91 – 100 = (n – 10)² – 9

この式は、(n – 10)² – 9という形になり、差の平方の形をしています。

素数になるためには、(n – 10)² – 9が素数になるようなnを求める必要があります。

さらに、(n – 10)² – 9が負の数でないことも確認する必要があります。具体的なnの値を代入して試してみることで、適切な自然数nを絞り込むことができます。

n = 10 + k と置き換えた場合、kに適切な値を代入して検証することで、求める自然数nを求めることができます。nが整数となる条件に合わせて、解を出していきます。

この問題は、因数分解と平方完成を使うことでnの値を絞り込み、与えられた式が素数になる条件を満たす自然数nを求める問題です。計算を進めながら、与えられた式の性質を理解することが解法への道となります。