積分 ∮(x^3 sin(x^2)) の解法と途中式の解説

数学の問題「∮(x^3 sin(x^2))dx」を解くための手順を詳細に解説します。具体的な途中式を示しながら、計算の流れを追っていきましょう。

問題の式を確認

与えられた式「∮(x^3 sin(x^2))dx」を解くためには、適切な変数変換を行う必要があります。この式に登場するx^3とsin(x^2)は、直接積分するのが難しいため、積分の変換を行います。

まず、式の中でsin(x^2)を含んでいるので、積分の簡単化を図るために、u = x^2 と置き換えます。この変数変換をすると、du = 2x dx となります。したがって、x^3 dx は x^2 * x dx = u * (1/2) du となります。

これを使って式を変換すると、積分は次のようになります。

∮(x^3 sin(x^2))dx = 1/2 ∮(u sin(u)) du

次に、1/2 ∮(u sin(u)) du の積分を行います。この積分を解くためには、部分積分を使用します。部分積分の公式は、∫udv = uv – ∫vdu です。

ここで、u = u, dv = sin(u) du と置きます。これにより、du = du と v = -cos(u) となります。部分積分を適用すると。

1/2 ( -u cos(u) + ∮ cos(u) du )

上記の式をさらに計算すると、最終的な解答は次のようになります。

1/2 ( -u cos(u) + sin(u) ) + C

元の変数に戻すため、u = x^2 を代入して、最終的な積分結果は次のように表されます。

-1/2 x^2 cos(x^2) + 1/2 sin(x^2) + C

この問題「∮(x^3 sin(x^2))dx」は、変数変換と部分積分を組み合わせることで解くことができました。u = x^2 とおいて積分を簡単にし、部分積分で解法を進めました。最終的に得られる答えは -1/2 x^2 cos(x^2) + 1/2 sin(x^2) + C です。