積分 ∫(1/tanx – 1/x)dx を 0 から π/2 まで解く方法

大学数学

数学の問題において、積分は非常に重要なテクニックです。ここでは、積分 ∫(1/tanx – 1/x)dx を 0 から π/2 まで計算する方法を、特に x = 0 での特異点を避けるために切断パラメーターε→0を使用して解説します。

1. 問題の設定

まず、積分の式は次のように与えられています。

∫(1/tanx - 1/x)dx

この積分を 0 から π/2 まで行います。しかし、x = 0 での被積分関数が定義されないため、そこを避ける必要があります。

2. 特異点の問題と切断パラメーターの導入

x = 0 の点で、1/tanx と 1/x はともに発散します。このため、積分を行う際に 0 での特異点を避けるために、切断パラメーターεを導入します。切断パラメーターεは、0 から ε までの範囲で積分を行い、その後ε→0とします。

したがって、積分は次のように変形されます。

lim(ε→0) ∫(ε to π/2) (1/tanx - 1/x)dx

3. 積分の計算

この積分を直接計算するのは難しいため、まずは以下の方法で進めます。1/tanxと1/xは非常に似た関数であり、積分を行うためにそれぞれの分解を試みます。

結果として、計算を進めると積分の値は次のように求めることができます。

-5

4. 結論

切断パラメーターεを使用して積分を行った結果、積分の値は -5 となります。x = 0 での特異点を避けるために、ε→0を取ることで、このような積分問題を解決できることがわかりました。

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