数Iの問題解説:a+b+c=0の場合の式変形と計算方法

高校数学

この問題では、与えられた条件を使って式を変形し、計算する方法について解説します。質問者の疑問は、式の変形がなぜこのように進むのかという点にあります。具体的にどのように式を展開して解くのか、順を追って説明します。

1. 問題の条件を整理する

問題文において、次の式が与えられています。

  • a + b + c = 0
  • a^2 + b^2 + c^2 = 6
  • a * b * c = 3

これらの式から、a、b、cの間に何らかの関係があることがわかります。この条件を元に、次の式「(a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1)」を求めます。

2. 与えられた式を展開する

まず、式 (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) を展開する必要があります。式を展開すると、以下のようになります。

(a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = (a + b)(b + c)(c + a) + (a + b)(b + c) + (b + c)(c + a) + (c + a)(a + b) + 2(a + b + c) + 1

これらの項を整理していくと、問題の解法に近づきます。

3. a + b + c = 0 を使って式を簡略化

ここで重要なのは、a + b + c = 0 という条件を利用することです。この条件を使うことで、いくつかの項が簡略化できます。具体的には、(a + b + c)の部分はゼロとなり、他の項も簡単に計算できます。これにより、最終的に次のような式が導かれます。

(a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = (1 - c)(1 - a)(1 - b)

4. 結果の計算と解釈

最終的に得られる式は、(1 – c)(1 – a)(1 – b) となり、これを計算すると結果は -5 になります。この変形がなぜ成り立つのかというと、a + b + c = 0 の条件から、各項における相互作用を簡略化できたためです。

5. まとめ

この問題では、与えられた条件を元に式を展開し、簡略化することで解を導き出しました。a + b + c = 0 の条件を利用することで、式が非常にシンプルに変形でき、最終的な計算も楽に行うことができました。数学では、こうした条件をうまく活用することで複雑な問題も解きやすくなります。

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