このページでは、大学の課題で出された数学の問題について解説します。ロジスティック写像のグラフの概形や周期点、初期値鋭敏性を示す方法、さらに無理数の証明や近似値の求め方など、多岐にわたる問題を取り扱います。
ロジスティック写像のグラフ概形
ロジスティック写像 f(x) = 4x(1 – x) のグラフの概形を描くと、f(x) は [0, 1] の区間で定義されており、x がこの範囲に収束します。繰り返し適用した場合、f²(x), f³(x), fⁿ(x) それぞれのグラフは、初期値に対して収束するか周期的に振動します。特に、f(x) の周期点が無限個存在することが示されます。
周期点が無限個存在することの証明
ロジスティック写像の周期点は、解法の過程で、x = 0.5 での動きに注目します。周期点が無限個存在する理由は、同じ繰り返し操作で異なる解を得られるためで、例えば x = 1/3 や x = 2/5 などが挙げられます。このような周期点を無限個持つ理由を詳しく証明することで、数学的に成立することが分かります。
初期値鋭敏性の証明
ロジスティック写像が [0, 1] → [0, 1] の範囲で初期値鋭敏性を持つことを示すために、x0 と x1 の初期値の差が時間とともに指数関数的に拡大することを確認します。微分可能な関数として、初期値のわずかな変化が結果に大きな影響を与えることを実証します。
無理数の証明と近似値の求め方
次に、∛3 が無理数であることを示します。これは、∛3 が有理数であると仮定して矛盾を導く方法で証明できます。また、∛2 の近似値を小数点以下4桁で求める方法として、ニュートン法を使用し、手順を丁寧に解説します。
まとめ
今回の課題では、ロジスティック写像のグラフの概形、周期点の存在、初期値鋭敏性の証明、無理数の証明、近似値の求め方といった重要な数学的概念に触れました。これらの問題を通じて、数学的な証明手法や計算方法を学ぶことができました。
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