合成写像の単射性に関する命題について、反例を示すことでその理解を深めることができます。この記事では、「合成写像g⚪︎f(x)が単射であるならば、写像gは単射である。」という命題が必ずしも成り立たないことを示す反例を解説します。
単射と合成写像の基本的な定義
まず、単射（Injective）について理解しておく必要があります。写像f: A → Bが単射であるとは、異なる元a1, a2 ∈ Aに対して、f(a1) ≠ f(a2) が成り立つことを意味します。言い換えれば、fが異なる元を異なる元に写す場合、fは単射です。
また、合成写像g⚪︎f(x)は、まずf(x)を適用し、その結果にgを適用することによって得られる新しい写像です。合成写像が単射であれば、g⚪︎f(x)が異なる元を異なる元に写すことを意味しますが、g自身が単射であるかどうかは別の問題です。
命題の反例
命題「合成写像g⚪︎f(x)が単射であるならば、写像gは単射である」の反例を考えましょう。次のような写像fとgを考えます。
- f: R → R を f(x) = x^2 と定義する。
- g: R → R を g(x) = x と定義する。
ここで、g⚪︎f(x)は、g(f(x)) = g(x^2) = x^2 です。つまり、合成写像g⚪︎f(x)はx^2を返す関数です。これは単射ではないことがわかります。なぜなら、例えばf(1) = f(-1) = 1 となり、異なる入力1と-1に対して同じ出力が返されます。
合成写像が単射でもgが単射でない理由
上記の反例では、g⚪︎f(x) = x^2のように、合成写像が単射でないにもかかわらず、gが単射でないことが確認できました。g自身はxとその二乗の関係を持っており、異なる元が同じ出力を持つ場合がありますが、合成写像が単射であってもgが単射である必要はないことがわかります。
したがって、合成写像が単射であっても、gが単射でない可能性が存在します。この反例から、命題が必ずしも正しいわけではないことが示されます。
まとめ
「合成写像g⚪︎f(x)が単射であるならば、写像gは単射である」という命題は成り立たないことが反例によって確認されました。このような命題の理解を深めることは、写像や関数の性質を理解する上で重要なステップです。反例を通じて、数学の命題が必ずしも成り立たない場合があることを学びました。
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