x=2^t + 2^(-t) と y=2^t - 2^(-t) の軌跡を求める方法

この記事では、与えられた式 x = 2^t + 2^{-t} と y = 2^t - 2^{-t} による軌跡を求める方法を解説します。具体的な方法を通じて、どのようにして同値変形を行い、軌跡の方程式を求めるかを詳しく説明します。

問題の整理

まず、与えられた式を整理します。
x = 2^t + 2^{-t} と y = 2^t - 2^{-t} という形です。この2つの式に対して、t の変数を使わずに、x と y の関係を求めることが目的です。

ここで重要なのは、2^t と 2^{-t} をそれぞれ別の変数として扱うことです。それによって、式を簡単に扱えるようにします。

まずは、x = 2^t + 2^{-t} と y = 2^t - 2^{-t} の式から、それぞれの値を2つの新しい変数で置き換えます。
例えば、a = 2^t とした場合、2^{-t} = 1/a となります。これを使って、x と y を次のように書き換えます。

x = a + 1/a と y = a - 1/a に置き換えることができます。

次に、x と y の関係式を導出します。ここでは、x と y の式から a を求め、それを使って x と y の関係式を出します。
式の操作により、x と y の間には単純な式が得られることがわかります。

計算の結果、x^2 - y^2 = 4 という方程式が得られます。この式が、この問題における軌跡の方程式です。

与えられた式 x = 2^t + 2^{-t} と y = 2^t - 2^{-t} に対する軌跡は、最終的に x^2 - y^2 = 4 という単純な形で表されます。この結果を用いることで、軌跡が双曲線であることが確認できます。