転倒数の求め方と効率的な計算方法【簡単な方法を紹介】

転倒数（インバージョン数）は、順列を昇順に並べるために交換する必要があるペアの数です。この記事では、転倒数の求め方と、効率的に計算する方法について説明します。具体的な手順と簡単な計算方法を紹介し、質問者のように大きな数でも機械的に求められる方法を解説します。

転倒数とは？

転倒数とは、順列の中で、左側にある数が右側の数よりも大きいペアの数を指します。例えば、順列「2314」では、次のペアが転倒しています。

この場合、転倒数は3です。転倒数は、順列がどれだけ乱れているかを測る指標として利用されます。

質問者が示した手法は、順列を小さい順に並べるために必要な交換回数を手動で計算する方法です。たとえば、「2314」を小さい順に並べるには、まず2と1を交換して「1324」にし、その後3と2を交換して「1234」にします。この場合、2回の交換が必要で、転倒数は2となります。

この方法は直感的でわかりやすいですが、より効率的な計算方法もあります。

大きな順列の場合、手動で交換回数を数えるのは大変です。そこで、転倒数を効率的に計算する方法として、マージソートを使った方法があります。マージソートは、順列を分割していくアルゴリズムですが、この過程で転倒数を数えることができます。

マージソートでは、分割した部分を比較しながら統合する際に、転倒数をカウントすることができるため、計算量がO(n log n)となり、大きな順列でも効率的に転倒数を求めることができます。

例えば、順列「254163」の場合を考えます。手動で転倒数を求めるには、次のようにペアを比較します。

このように、順列のすべてのペアを比較することで転倒数を求めますが、大きな順列になると手間がかかります。このため、前述のようにアルゴリズムを利用することをお勧めします。

転倒数の計算は、順列がどれだけ乱れているかを知るために重要です。手動で計算する方法もありますが、特に大きな順列に対しては、効率的に計算できるマージソートなどのアルゴリズムを活用することで、より迅速に結果を得ることができます。計算方法を覚えて、複雑な問題でも自信を持って解けるようにしましょう。