統計学の問題：中心極限定理とその応用に関する解説

大学の統計学の問題に関する解説です。今回は、中心極限定理を使った統計的検定の正当性について、2つの例を取り上げ、詳しく説明します。

1. 中心極限定理の概要

中心極限定理（Central Limit Theorem）は、独立した確率変数の平均が、サンプルサイズが十分大きい場合に、どんな分布でも近似的に正規分布に従うという理論です。これを理解することは、統計的検定において非常に重要です。

2. i) 30回の小テストの合計点での検定

問題では、2人の生徒の習熟度を比較するために、30回の小テストの合計点を使って統計的検定を行っています。「30回分を足し合わせるので中心極限定理が成り立つ」と考えた判断についてです。基本的に、30回分の合計点を取ることで、各テストの個別の分布が合わさって、合計点の分布は正規分布に近づきます。したがって、この場合の判断は正しいと言えます。

3. ii) 2つのクラスの平均点での検定

次に、2つのクラスの習熟度を比較するために、各クラスの生徒数が40人以上で、平均点が中心極限定理に従うと考えた判断についてです。ここで重要なのは、生徒数が40人以上であれば、平均点は正規分布に近づくということです。このため、クラスごとの平均点を基にした検定は正当です。この判断も正しいです。

4. 統計的検定の方法とその重要性

統計的検定を行う際には、中心極限定理を基にした正規分布の性質を理解することが重要です。サンプルの数が多いほど、正規分布に近づくという点を考慮することで、適切な結論を得ることができます。

5. まとめ

今回の問題において、中心極限定理に基づいた検定の判断は正しいといえます。特にサンプルの数が大きい場合、平均値が正規分布に近づくという特性をしっかりと理解し、適切な検定方法を選ぶことが大切です。