数列の階差数列と一般項の求め方に関する解説

このページでは、数列の問題における階差数列の求め方、特に「bnの一般項を求める式」を導出する過程について解説します。問題に出てくる数列の性質とその解析方法を順を追って学び、理解を深めていきましょう。

1. 数列の問題の概要

この問題は、数列anの一般項に関連する式を求める問題です。問題における式は、ある関係式に基づいて変数が変化する数列に関する問題です。与えられた条件をもとに、数列bnの一般項を求めていきます。

具体的には、次の式が与えられています。
(1/an+1)−(1/an)=2n+3
この式を使って数列bnの一般項を求める方法を解説します。

2. 数列bnの導出

まず、「bn = 1/an」とおくと、与えられた式を数列bnを使って表現することができます。このように定義することで、問題が少しずつ解きやすくなります。

次に、与えられた式を解析するために階差数列を使います。階差数列とは、数列の各項から前の項を引いた数列のことです。問題においては、数列bnを使ってその階差数列を求めます。

3. 階差数列の利用方法

階差数列を求めることで、数列の一般項を得るための重要な情報を得ることができます。問題で示された式から、Σ[k=1からn-1](2k+1)という形の階差数列が導出される理由について解説します。

階差数列を使ってbnの一般項を求める方法は、積分に似た手法であるため、このアプローチをしっかりと理解することが解答への近道となります。

4. よくある間違いとその修正

問題で示された式の解釈に関して、最初に多くの人が誤解しがちな部分があります。それは、bnの式に関する部分で、問題の式がどのように変形されるべきかということです。

誤って、bnを「bn+1 + Σ[k=1からn-1](2k+1)」だと思ってしまうことがありますが、正しい形は「bn = b1 + Σ[k=1からn-1](2k+1)」です。この違いを理解し、適切に変形することで、問題を正しく解くことができます。

5. まとめ

この問題では、数列の一般項を求める際に階差数列の概念を用いることが重要であり、bnの式を適切に変形することが解法の鍵となります。数列の一般項を求める問題では、このような手法を理解しておくと、多くの数学的な問題に応用が可能です。