法政大学の2021年の数学問題において、関数f(x) = log4(9 – x)² + log2(x – 1) + 3の最大値を求める問題が出題されました。問題の中で与えられた範囲は1 < x < 9ですが、どのように解いていくべきでしょうか。今回はその解法を詳しく解説します。
問題の整理と関数の解析
まず、与えられた関数f(x)は以下のように表されます。
f(x) = log4(9 – x)² + log2(x – 1) + 3
ここで、log4とlog2はそれぞれ異なる底の対数ですが、同じベースに変換することで扱いやすくなります。まずはlog4の部分をlog2に変換しましょう。
対数の底の変換
log4をlog2に変換するために、log4a = (log2a) / (log2 4) = (log2a) / 2を使用します。したがって、f(x)の式は次のようになります。
f(x) = (1/2) * log2(9 – x)² + log2(x – 1) + 3
これで、全ての項がlog2の形になりました。
関数の微分と最大値
次に、この関数の最大値を求めるためには、微分を用いてf(x)の増減を調べる必要があります。まずはf(x)をxで微分します。
f'(x) = (1/2) * (2 * (9 – x)) / (9 – x) + 1 / (x – 1)
これを整理すると、f'(x) = (9 – x) / (9 – x) + 1 / (x – 1) となります。
微分係数をゼロに設定
次に、f'(x) = 0となる点を求めます。ここから方程式を解くと、xの値が得られ、最大値が得られる点を特定できます。
解法としては、この微分結果を利用してxの値を求め、f(x)が最大となる点を見つけます。
まとめ
このように、法政大学2021年の数学問題を解くためには、まず関数を整理し、対数の底を統一し、微分を用いて関数の増減を調べることが重要です。微分を利用することで、関数の最大値を求めることができます。
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