数学の問題で「f(x, y) = sin(x) + sin(y) – sin(x + y) の極値を求めなさい」というものがあります。この問題では、関数の極値を求めるための計算過程を理解することが重要です。では、具体的にどのように進めていくのかを解説していきます。
関数f(x, y)の極値を求めるための準備
まず、与えられた関数f(x, y) = sin(x) + sin(y) – sin(x + y)について、極値を求めるためには、偏微分を使って関数の最大値や最小値がどこに存在するのかを調べる必要があります。極値を求めるためには、まず偏微分を計算し、その結果がゼロになる点を見つけることが大切です。
f(x, y)の偏微分
次に、関数f(x, y)について偏微分を計算します。まず、xに関する偏微分を求めます。
∂f/∂x = cos(x) – cos(x + y)
次に、yに関する偏微分を求めます。
∂f/∂y = cos(y) – cos(x + y)
これで、f(x, y)の偏微分を計算しました。
偏微分がゼロになる点を求める
次に、偏微分がゼロになる点を求めます。すなわち、以下の方程式を解きます。
cos(x) – cos(x + y) = 0
cos(y) – cos(x + y) = 0
この2つの方程式を同時に解くと、x = 2π/3, y = 2π/3という解が得られます。これがf(x, y)の極値を求めるための重要な点です。
極値の確認と極大値の計算
次に、点(2π/3, 2π/3)での極大値を計算します。関数f(x, y)の値をx = 2π/3, y = 2π/3に代入すると、次のように計算できます。
f(2π/3, 2π/3) = sin(2π/3) + sin(2π/3) – sin(2π/3 + 2π/3)
= √3/2 + √3/2 – sin(4π/3)
= √3/2 + √3/2 – (-√3/2)
= 3√3/2
したがって、点(2π/3, 2π/3)での極大値は3√3/2となります。
まとめ
関数f(x, y) = sin(x) + sin(y) – sin(x + y)の極値を求めるために、まず偏微分を行い、その後偏微分がゼロになる点を解きました。その結果、x = 2π/3, y = 2π/3で極大が得られ、極大値は3√3/2となることがわかりました。数学の問題では、偏微分と極値の求め方をしっかりと理解することが大切です。
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