Sympyを使用した複素数の極限計算方法

このページでは、Sympyを使って複素数を含む極限を計算する方法について解説します。特に、次のような式の極限計算について説明します：
lim[t->∞] e^(-(a+iω)t)。これが1になるかどうかを確認しながら進めていきます。

1. 問題の理解

与えられた問題は、複素数の指数関数 e^(-(a+iω)t) の極限を t -> ∞ としたときの挙動を調べるものです。a > 0、ωは定数として与えられていると仮定します。

この問題を解くには、Sympyライブラリを使って簡単に計算できます。特に、指数関数の中に複素数が含まれている場合の処理が重要です。

Sympyでこの問題を解くために、まずはライブラリをインポートします。そして、次のようにコードを記述します。

from sympy import symbols, exp, I, limit, oo

上記のコードで、Sympyの基本的な機能を使用して、複素数iを表すI、時間tを表すsymbols、そして指数関数を使用します。次に、この関数の極限を計算します。

次に、具体的な計算を行います。与えられた式は e^(-(a+iω)t) なので、これをSympyで次のように表現します。

t, a, ω = symbols('t a ω')
f = exp(-(a + I*ω)*t)
lim_f = limit(f, t, oo)

これで、t -> ∞ のときのf(t)の極限を求めることができます。

計算した結果、この式の極限は確かに 0 になります。これは、a > 0 の場合、指数関数の中身が負の実数になるため、t -> ∞ としたときに指数関数は0に収束します。

したがって、lim[t->∞] e^(-(a+iω)t) の結果は 0 となり、最終的には 1 ではなく 0 に収束することが確認できました。

このように、Sympyを使って複素数を含む関数の極限を計算することは非常に簡単です。複素数が含まれる場合でも、Sympyを使うことで計算がスムーズに進みます。この方法を応用することで、さまざまな数学的な問題を解くことができるでしょう。