座標平面上の放物線と直線の交点の距離を求める問題

座標平面上の放物線C: y = x²と直線L: y = ax + 1（a > 0）が与えられています。この問題では、Lとx軸、y軸の交点、そしてCとLの交点を求め、特定の距離を算出する方法について解説します。

問題の設定

まず、直線Lはx軸とy軸と交わります。直線の方程式はy = ax + 1ですから、x軸との交点Pはy = 0のときのxの値です。これを求めると、0 = ax + 1からx = -1/aとなります。また、y軸との交点Qはx = 0のときのyの値なので、Qは(0, 1)となります。

次に、放物線Cと直線Lが交わる点を求めます。Cの方程式はy = x²、Lの方程式はy = ax + 1なので、x² = ax + 1となります。この方程式を解くことで、交点のx座標を求めます。

解の公式を用いると、x² – ax – 1 = 0となり、この二次方程式の解は次のように求められます。

x = (a ± √(a² + 4)) / 2

ここで、x座標が大きい方がR、もう一方の小さい方がSです。

PQとQRが等しいという条件を使って、aの値を求めます。PQの長さはPのx座標とQのx座標の差であり、QRの長さも同様にRのx座標とQのx座標の差となります。これを等しくなるように計算すると、aの値が求まります。

最後に、RSの長さを求めます。RSの長さはRとSのx座標の差となり、これを計算することで最終的な答えが求まります。

この問題を解くためには、放物線と直線の交点を求め、与えられた条件をもとに計算を進めることが重要です。PQ = QRの条件からaの値を求め、最後にRSの長さを算出する方法を理解することが解決への道となります。