この問題では、sin1°が0.01より大きいことを証明することが求められています。高校の数学や大学入試の数学問題としてよく見かける問題ですが、どのように証明すれば良いのでしょうか？
問題の整理
問題の内容は、sin1° > 0.01を証明せよ、というものです。まずはこの問題を解くために、sin1°が0.01より大きいということを証明するための手順を整理しましょう。
近似式を使った証明方法
sin1°を直接計算することは難しいですが、小さな角度での近似を利用する方法があります。sin(x) ≈ x (ラジアン) という近似式を用いれば、sin1°をラジアンで近似できます。
1度は、1度 = (π / 180) ラジアンなので、1度をラジアンに直すと、1° ≈ 0.0174533ラジアンとなります。
したがって、sin(1°) ≈ 0.0174533になります。これはおおよそ0.0174であり、0.01よりも明らかに大きいことがわかります。
別のアプローチ: テイラー展開の利用
もう一つのアプローチとして、sin(x)のテイラー展開を利用する方法があります。sin(x)のテイラー展開は次のように表されます。
sin(x) = x – (x³ / 3!) + (x⁵ / 5!) – (x⁷ / 7!) + …
これを使って、1°の角度に対するsin(1°)をテイラー展開すると、さらに精密な近似値が得られますが、この近似式を使用しても、やはりsin1°が0.01より大きいことが確認できます。
まとめと結論
以上のように、sin1°が0.01より大きいことを証明する方法としては、近似式sin(x) ≈ x（ラジアン）を使う方法が最も簡単で確実です。sin(1°) ≈ 0.0174であり、0.01よりも大きいことがわかります。
この証明方法を利用することで、数学の問題を効率的に解くことができます。大学入試でもこのような近似を使った問題がよく出題されるので、しっかりと理解しておくと良いでしょう。
コメント