数学の問題で「√(7n/10)が有理数になるような最小の自然数nを求めなさい」というものがあります。この問題の解法について、どのように進めるかを解説します。まず、解答には理解すべきポイントがいくつかありますが、その中でも重要な部分を具体的に説明していきます。
√(7n/10)が有理数になるための条件
有理数とは、整数の比として表せる数のことです。つまり、分母と分子が整数であるような数です。√(7n/10)が有理数であるためには、ルートの中身が完全に平方数である必要があります。つまり、7n/10が平方数であれば、この式全体が有理数になります。
7n/10を平方数にするための条件
まず、10を素因数分解します。10 = 2 × 5です。これを√(7n/10)に適用すると、√(7n/(2×5))という形になります。ここで、7nが整数の平方数となるような条件を探さなければなりません。
必要なnの最小値
7n/10が平方数になるためには、nが7×2×5（すなわち70）の倍数である必要があります。なぜなら、7、2、5の各素因数が全て偶数回現れる必要があるからです。従って、最小のnは70となります。
具体的に言うと、n=70の場合、√(7×70/10) = √(490/10) = √49 = 7となり、有理数になります。これが最小のnの値です。
平方数と素因数分解の理解
平方数とは、整数の二乗で表せる数のことです。例えば、1, 4, 9, 16, 25などが平方数です。数を平方数にするためには、その数の素因数分解を行い、各素因数が偶数回現れるようにする必要があります。
7n/10を平方数にするためには、まずその数の素因数を偶数回含む必要があるということを理解することが大切です。これにより、問題を解く際に何を求めるべきかが見えてきます。
まとめ
√(7n/10)が有理数になる最小のnは70です。この解法では、素因数分解を活用し、平方数になるための条件を探りました。問題を解く際には、平方数の特徴をしっかりと理解し、数の素因数分解を利用することが重要です。
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