連立方程式を解くための和と差の使い方とその理由

連立方程式を解く際に、2式の和と差を使って解く方法があります。この方法は、なぜ有効であるのか、どのように操作を進めていくのかについて詳しく解説します。特に、「51x + 49y = 1」と「49x + 51y = 2」のような式で、和と差を使う理由を理解することが重要です。

連立方程式とは？

連立方程式とは、2つ以上の方程式が同時に成り立つような解を求める問題です。例えば、次の2つの方程式が連立方程式の一例です。

51x + 49y = 1

49x + 51y = 2

これらの方程式は、xとyの値を同時に解くことが求められます。連立方程式を解く方法には、代入法、加減法（和と差を使う方法）、行列法などがあります。

和と差を使って連立方程式を解く理由は、xやyを効率的に消去できるからです。加減法では、2つの式を足したり引いたりすることで、1つの変数を消すことができます。

例えば、与えられた2つの方程式の和を取ることで、yの項を消去することができます。その後、差を取ることで、今度はxの項を消去することができます。この方法によって、xとyを個別に解くことが可能になります。

問題「51x + 49y = 1」と「49x + 51y = 2」において、まず和を取る操作を行います。

(51x + 49y) + (49x + 51y) = 1 + 2

この計算を行うと、xとyの項がそれぞれ足されて、次のような式が得られます。

100x + 100y = 3

次に、この式を100で割ると。

x + y = 0.03

次に、差を取ることでxまたはyの値を求めます。

(51x + 49y) – (49x + 51y) = 1 – 2

この計算を行うと、xとyの項が引き算されて、次のような式が得られます。

2x – 2y = -1

ここで式を2で割ると。

x – y = -0.5

得られた2つの式「x + y = 0.03」と「x – y = -0.5」を解くと、xとyの値が求まります。これらの式を加算すると、yが消去され、xの値が得られます。

(x + y) + (x – y) = 0.03 + (-0.5)

2x = -0.47

x = -0.235

次に、xの値をどちらかの式に代入してyの値を求めます。例えば、「x + y = 0.03」にx = -0.235を代入すると。

-0.235 + y = 0.03

y = 0.265

和と差を使う方法は、連立方程式を解く上で非常に効率的な手法です。和を取ることで一つの変数を消去し、差を取ることで別の変数を消去することができます。この方法を理解し、使いこなすことで、複雑な連立方程式を解く際に非常に役立ちます。