この問題では、関数y = x³ + 3x² – 1のグラフの描き方について解説します。関数のグラフを描くためには、まず関数の微分を行い、関数の増減や極大・極小を求め、その後、関数の振る舞いを確認する必要があります。
関数の微分と極大・極小の確認
関数y = x³ + 3x² – 1の微分を行うと、dy/dx = 3x² + 6x になります。この微分を0にすると、x = -2, x = 0という二つの解が得られます。これらは、関数が変化するポイントを示す候補です。
次に、二次微分を用いてこれらの点が極大か極小かを判断します。二次微分はd²y/dx² = 6x + 6です。x = -2での二次微分はd²y/dx² = -6となり、この点は極大、x = 0での二次微分はd²y/dx² = 6となり、この点は極小であることがわかります。
グラフの描き方
次に、得られた情報を基に関数のグラフを描きます。x = -2で関数が最大値を取り、x = 0で最小値を取ります。このため、x = -2で一番高い点があり、x = 0で最も低い点があります。
さらに、関数の増減を確認するために、微分を使って増加区間と減少区間を求めます。dy/dx = 3x² + 6xの符号を確認することで、関数が増加する区間と減少する区間を特定できます。
グラフの特徴と最終的な描写
x = -2からx = 0の間で関数は減少し、x = 0を超えると増加します。これらの情報を元に、関数のグラフを描くことができます。関数の形は、x軸を基準にして左右対称のように見えるでしょう。
まとめ
このように、関数y = x³ + 3x² – 1のグラフを描くためには、微分を使って増減や極大・極小を求め、その後、関数の振る舞いを基にしてグラフを描くことが重要です。関数の微分の基礎を理解し、計算を確実に行うことがグラフ作成の鍵となります。
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