ラプラス逆変換の計算方法と解法例 – (e^-as)/(s(s+1)(1-e^-as))

ラプラス逆変換の計算問題として、(e^-as)/(s(s+1)(1-e^-as))の逆変換を求める問題に取り組んでみましょう。この問題では、ラプラス変換における分母と分子の構造に注目し、適切な手法を使って解を導くことが求められます。

1. ラプラス逆変換とは？

ラプラス逆変換とは、ラプラス変換を通して得られた複雑な関数を、時間領域の関数に戻す操作です。ラプラス変換は多くの微分方程式や制御システムの解析で使用されますが、逆変換を行うことで、問題の本質を時間的な視点で理解できます。

2. 問題の式の分析

与えられた式は(e^-as)/(s(s+1)(1-e^-as))ですが、これをそのまま逆変換するのは一見難しそうです。しかし、式の各部分に注目すると、分子と分母における指数関数的な項が鍵になります。

3. 分母の分解と式の簡略化

まず、式の分母に注目しましょう。s(s+1)の部分と(1-e^-as)の部分をそれぞれ扱う必要があります。(1-e^-as)は周期的な関数を意味し、これにより、ラプラス逆変換のテクニックを用いて適切に処理することができます。

4. 部分分数分解と逆変換の適用

式を部分分数分解し、それぞれに対してラプラス逆変換を適用します。これにより、元の式が時間領域の関数に変換されます。この段階で逆変換テーブルや既知のラプラス逆変換の公式を参照することが有効です。

5. まとめ

ラプラス逆変換の計算では、分母の分解と指数関数的な項に注目することで、複雑な式も時間領域に戻すことができます。この問題の場合も、部分分数分解を使いながら適切な逆変換を行うことで解を求めることができました。