数学の問題でよく見かける等式 1/x + 1/y + 1/z = 1/xyz は、正の整数 x, y, z の組み合わせを求める問題です。このような問題を解くためには、式を整理して、代数的な手法や整数の特性を利用することが大切です。この記事では、この等式を満たす正の整数の組 (x, y, z) を求める方法を詳しく解説します。
等式の整理と変形
まず、与えられた等式 1/x + 1/y + 1/z = 1/xyz を整理します。まず、右辺を x, y, z について展開します。
1/x + 1/y + 1/z = 1/xyz
次に、両辺を xyz で掛け算して、分母をなくします。
yz + xz + xy = 1
この式が求めるべき式です。ここから、整数の値に関しての探索が始まります。
整数解を求める
この式を満たす整数 x, y, z の組み合わせを探すには、さまざまな方法があります。例えば、x = 1 から順に試していくことで、対応する y, z の値を求めることができます。
例えば、x = 1 の場合、式は次のように簡単になります。
y + z + yz = 1
これは因数分解して次のように書き換えることができます。
(y + 1)(z + 1) = 2
ここから、(y + 1) と (z + 1) の組み合わせが 2 の約数である必要があることがわかります。2 の約数は 1 と 2 なので、y + 1 = 1, z + 1 = 2 または、y + 1 = 2, z + 1 = 1 の場合です。この場合、y = 0, z = 1 または、y = 1, z = 0 となりますが、正の整数解としては y = 1, z = 1 が適切です。
他の解を試す
次に、x = 2 の場合も試してみましょう。同じように、y と z を試していくことで、別の解を求めることができます。例えば、x = 2 の場合、式は次のように変わります。
2y + 2z + yz = 1
これを整理すると。
(y + 2)(z + 2) = 6
ここから、(y + 2) と (z + 2) の組み合わせが 6 の約数である必要があり、y + 2 = 2, z + 2 = 3 などが解になります。これを繰り返し行っていくことで、他の解を得ることができます。
まとめ
等式 1/x + 1/y + 1/z = 1/xyz を満たす正の整数の組 (x, y, z) を求めるためには、まず式を整理して、整数の解を試す方法を用います。整数解を求める際には、式の変形と因数分解をうまく活用することが重要です。解の探索を試行錯誤で行うことによって、整数解が見つかります。
この問題のポイントは、解を求めるための適切なアプローチと、整数解の特性を理解することです。さまざまな x の値を試していくことで、効率的に解を求めることができます。
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