位数12の有限群の同型類とその群の記述

位数12の有限群について、同型を除くと5つの群が存在することを示し、それぞれの群を記述する問題を解説します。有限群の分類に関する基本的な知識を踏まえて、詳細な解法とともに解説していきます。

1. 位数12の群の分類

位数12の群は、位数12の元を持つ群であり、その構造を理解するためにはまず位数12の群がどのような性質を持つのかを把握する必要があります。位数12の群は、基本的にアーベル群と非アーベル群の2種類に分かれます。

2. アーベル群の構造

位数12のアーベル群は、基本的には2つの群に分けることができます。具体的には、

• ℤ₁₂（順序12の循環群）
• ℤ₆ × ℤ₂（順序6の循環群と順序2の循環群の直積）

この2つが位数12のアーベル群を構成します。

3. 非アーベル群の構造

位数12の非アーベル群については、以下の3つの群が存在します。

• A₄（交代群A₄、順序12の交代群）
• D₆（順序12の二面体群、正六角形の対称群）
• ℤ₄ × ℤ₃（順序4の循環群と順序3の循環群の直積）

4. まとめ

位数12の群は、同型を除くと5つ存在します。アーベル群と非アーベル群に分けて考えることができ、それぞれの群の構造を理解することが大切です。アーベル群はℤ₁₂とℤ₆ × ℤ₂、非アーベル群はA₄、D₆、ℤ₄ × ℤ₃です。これらを理解することで、位数12の群の性質や構造を把握できます。