数列の一般項の求め方：実例と解法

数列の一般項を求める方法について、以下の2つの問題を取り上げて解説します。問題①と②の数列に対して、どのようにして一般項を求めるか、そのステップをわかりやすく説明します。

① 数列の一般項を求める

まず、問題①の数列は「2, 7, 18, 35, 58,…」です。この数列の一般項を求めるために、数列の差分を調べていきます。

数列の差分：7 – 2 = 5, 18 – 7 = 11, 35 – 18 = 17, 58 – 35 = 23

差分が等差数列を成しているので、2次の多項式で表すことができます。一般的に、この場合の一般項は次の形を取ります。

a_n = An^2 + Bn + C

ここで、A、B、Cの定数を求めるために、数列の初項と差分を使って連立方程式を解きます。計算の結果、A = 3、B = -1、C = 0となり、一般項は。

a_n = 3n^2 – n です。

次に、問題②の数列「3, 4, 7, 16, 43, 124,…」を考えます。この数列もまず差分を調べます。

数列の差分：4 – 3 = 1, 7 – 4 = 3, 16 – 7 = 9, 43 – 16 = 27, 124 – 43 = 81

差分が3の倍数に増加しているため、3次の多項式で表すことが予想されます。一般項の形は次のようになります。

b_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D

同様に、数列の値を使ってA、B、C、Dを求め、計算を進めると、一般項は。

b_n = n^3 + 2n^2 – n + 1 となります。

数列の一般項を求めるためには、まず数列の差分を調べることが基本です。差分が一定の場合、一般項は1次、2次、3次などの多項式で表せることが多いです。また、差分が等差または等比数列になる場合もあります。数列の性質を理解し、差分や変化のパターンを見つけることが、一般項を求める鍵となります。