√5の整数部分と小数部分を使った計算：a²+2ab+2b²の値を求める方法

「√5の整数部分をa、小数部分をbとする時、a²+2ab+2b²の値を求めなさい」という問題について、解説します。模範解答が「14 – 4√5」となっている理由を詳しく説明し、間違えやすい点を丁寧に解説します。

問題の設定：√5の整数部分と小数部分

まず、√5の値を求めるところから始めましょう。√5は約2.236という無理数です。したがって、整数部分はa = 2、小数部分はb = 0.236となります。

このように、√5をa + bの形で分けることができます。a = 2, b ≈ 0.236です。この設定を元に計算を進めます。

問題で求める式はa² + 2ab + 2b²です。まず、a = 2, b ≈ 0.236を代入して式を展開しましょう。

1. a² = 2² = 4
2. 2ab = 2 × 2 × 0.236 = 0.944
3. 2b² = 2 × (0.236)² ≈ 0.111

したがって、a² + 2ab + 2b² = 4 + 0.944 + 0.111 ≈ 5.055 です。

問題の模範解答では「14 – 4√5」となっています。これは、実際に数値を計算した結果ではなく、式の形として「√5の整数部分と小数部分」を使って計算を進める方法に基づいています。

√5 ≈ 2.236なので、4√5 ≈ 4 × 2.236 ≈ 8.944 です。このため、計算結果に-4√5を加えると、最終的に「14 – 4√5」の形に落ち着くわけです。

この問題の意図は、単純に数値を代入して計算することではなく、√5の整数部分と小数部分を使って式を展開することにあります。整数部分をa、小数部分をbとすると、数式は次のように変換されます。

a = 2, b ≈ 0.236
そして、式に代入して求めた値が「14 – 4√5」になる理由が理解できるでしょう。

√5の整数部分と小数部分を使って計算する際には、まず整数部分と小数部分を正しく分けることが大切です。式a² + 2ab + 2b²にこれらを代入し、計算を進めることで、最終的に「14 – 4√5」という形になります。このような計算方法を理解することで、類似の問題にも対応できるようになります。