因数分解の解法：x(y^3 – z^3) + y(z^3 – x^3) + z(x^3 – y^3) の因数分解

因数分解の問題として、式 x(y^3 – z^3) + y(z^3 – x^3) + z(x^3 – y^3) を解く方法について解説します。この式の因数分解を行うと、最終的に (x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z) という形になります。

因数分解の基本的なアプローチ

まずは与えられた式を理解しましょう。式 x(y^3 – z^3) + y(z^3 – x^3) + z(x^3 – y^3) には、三項のそれぞれに立方差の形が見られます。立方差の公式は、a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) という形で因数分解できます。この公式を用いて問題を解きます。

立方差の公式を使う

式の各項に立方差の公式を適用します。例えば、y^3 – z^3 は (y – z)(y^2 + yz + z^2) になります。同様に、z^3 – x^3 は (z – x)(z^2 + zx + x^2) となり、x^3 – y^3 は (x – y)(x^2 + xy + y^2) です。このようにして式を展開していきます。

式を整理する

次に、展開された式を整理します。それぞれの項を集めると、(x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z) という形に因数分解できることが分かります。これは、式に現れた各差の項とその積を表しています。

因数分解の結果と確認

最終的に、与えられた式は (x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z) という因数分解の形になります。これは、元の式を簡単に表現した形であり、問題の答えとして正しいことが確認できます。

まとめ

因数分解の問題では、立方差の公式を利用することで複雑な式を簡単に解くことができます。この問題も、公式を使って順を追って解くことで、正しい因数分解が得られることが分かりました。