因数分解の問題である「(x + y + z)^3 – x^3 – y^3 – z^3」の解き方について解説します。最初に見た時は複雑に感じるかもしれませんが、少し工夫すれば簡単に解ける方法があります。答えは「3(x + y)(y + z)(z + x)」という形になりますが、なぜこのように因数分解できるのかを順を追って見ていきましょう。
1. 問題の式を確認する
まずは、与えられた式「(x + y + z)^3 – x^3 – y^3 – z^3」を見てみましょう。この式は3つの項が含まれていますが、直接的に因数分解するのではなく、展開を使って式を整理する必要があります。
最初に考えるべきは、「(x + y + z)^3」の展開です。この部分を展開すると、三項の展開の公式を使って以下のようになります。
2. (x + y + z)^3の展開
「(x + y + z)^3」を展開すると、次のような式が得られます。
(x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz
この式から、元々の問題式「(x + y + z)^3 – x^3 – y^3 – z^3」を引き算してみましょう。
3. 引き算の後の式の整理
展開した式から、x^3、y^3、z^3を引き算すると、残りの項は以下のようになります。
3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz
この式を整理して、共通の因数を見つけます。すべての項に「3」を共通因数として取り出すことができます。すると、次のような式になります。
3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 + 2xyz)
4. 因数分解を行う
ここで式をさらに整理していくと、次のように因数分解できます。
3(x + y)(y + z)(z + x)
この形が問題の答えになります。最初は複雑に見えるかもしれませんが、式を一歩一歩展開して整理することで、因数分解することができました。
まとめ
「(x + y + z)^3 – x^3 – y^3 – z^3」の因数分解は、最初に展開を行い、その後共通因数を取り出して整理することで解けます。式を展開して、どのように因数分解を行うかを理解することが重要です。これにより、類似の問題にも対応できるようになるでしょう。
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