最小公倍数と最大公約数に関する問題では、与えられた条件から2つの自然数を求めることができます。この問題では、最小公倍数が420、最大公約数が5である2つの自然数の積と、それらの組み合わせの数を求める方法を解説します。
1. 最小公倍数と最大公約数の関係
最小公倍数（LCM）と最大公約数（GCD）は、2つの数に関する重要な関係を持っています。最小公倍数は、2つの数の最小の共通の倍数であり、最大公約数は、2つの数の最大の共通の約数です。
最小公倍数と最大公約数には次の関係式があります。
LCM(a, b) × GCD(a, b) = a × b
この式を使って、2つの自然数の積を求めることができます。
2. 2つの自然数の積を求める
問題では、最小公倍数が420、最大公約数が5である2つの自然数を求める必要があります。上記の関係式を使って、これらの数の積を求めましょう。
LCM(a, b) × GCD(a, b) = a × b という式に代入すると、次のようになります。
420 × 5 = a × b
この計算を行うと、a × b = 2100 となります。
したがって、2つの自然数の積は2100です。
3. 2つの自然数の組み合わせの数を求める
次に、最小公倍数と最大公約数がそれぞれ420と5である自然数の組み合わせの数を求めます。まず、aとbをそれぞれa = 5x、b = 5yと置き換えます。ここで、xとyは互いに素な数である必要があります。
このように置き換えると、最小公倍数は次のように表されます。
LCM(a, b) = 5 × LCM(x, y)
与えられた最小公倍数が420であるため、5 × LCM(x, y) = 420 となります。
したがって、LCM(x, y) = 84 となります。xとyが互いに素な数であり、LCM(x, y)が84である組み合わせを求めると、xとyの組み合わせは次の通りです。
x = 1, y = 84、x = 2, y = 42、x = 3, y = 28、x = 4, y = 21、x = 6, y = 14、x = 7, y = 12
以上の組み合わせが考えられるため、組み合わせの数は6組となります。
4. まとめ: 問題の解法
この問題では、最小公倍数と最大公約数の関係を利用して、2つの自然数の積とその組み合わせの数を求めました。具体的な手順としては、最小公倍数と最大公約数から2つの自然数の積を求め、その後、互いに素な数の組み合わせを求めるという方法を取りました。
最終的に、2つの自然数の積は2100、組み合わせの数は6組であることがわかりました。
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