2次不等式 x² – 4x + 6 > 0 を解く方法について考えます。この不等式を直接解く方法と、(x – 2)² + 2 の形に変形して解く方法について比較しながら解説します。
2次不等式 x² – 4x + 6 > 0 を解く基本的なアプローチ
まず、2次不等式 x² – 4x + 6 > 0 を解く基本的な方法を見ていきます。一般的に、2次不等式を解く方法としては、2次方程式の解を求め、その解を基に不等式の符号を調べる方法が取られます。まず、左辺を因数分解したり、平方完成を使ったりします。
ここでは、平方完成を使って式を簡単にしましょう。x² – 4x + 6 の平方完成を行うと、次のようになります。
x² – 4x + 6 = (x – 2)² + 2
(x – 2)² + 2 の形に変形する理由
この式 (x – 2)² + 2 の形に変形することで、不等式がどのように変化するかを見ていきます。まず、(x – 2)² は常に0以上の値を取ります。つまり、(x – 2)² ≥ 0 です。そして、2を加えるので、(x – 2)² + 2 は必ず2以上の値を取ります。
したがって、(x – 2)² + 2 > 0 は常に成立します。つまり、x² – 4x + 6 > 0 は全ての実数xについて成立することがわかります。
なぜ x > 4, 0 とはならないか
x > 4, 0 という条件が出てくる理由について考えると、x² – 4x + 6 の形からそのような条件が生じることはありません。この不等式は、すべての実数xに対して成り立つため、x > 4 や x > 0 というような制限は必要ないのです。
結論として、x² – 4x + 6 > 0 は、xの値に関係なく常に成り立ちます。このように、平方完成を使って式を変形すると、不等式の成り立ちや解がより簡単に理解できます。
まとめ：x² – 4x + 6 > 0 の解法
不等式 x² – 4x + 6 > 0 は、平方完成を使用して (x – 2)² + 2 に変形することで、すべての実数xに対して成り立つことがわかります。この方法を使うことで、不等式の解がより簡単に理解でき、誤った条件設定を避けることができます。数学の問題を解くときは、式を変形してよりシンプルにする方法を積極的に使いましょう。
コメント