高校数学の問題で、2次方程式における解の条件を求める際、特に条件を満たすpの範囲を求める場合、具体的に何を考慮すればよいのかが重要です。今回の問題では、2次方程式の解が実数であり、特定の条件を満たすことを確認する方法を解説します。
1. 2次方程式とその解の条件
まず与えられた2次方程式は「x^2 – (p + 2)x + p^2 + 3p + 1 = 0」です。この方程式の解をαとβとし、その解が実数であることを確認しながら、条件を満たすpの範囲を求めます。問題では、「α < 0 < βかつ |α| < |β|」という条件が与えられています。
2次方程式の解の条件を求めるためには、まず判別式Δが非負であることを確認しなければなりません。Δ = b^2 – 4ac の式を使って、pの値によって解が実数となる条件を導き出します。
2. 判別式の計算とpの範囲
次に、2次方程式の判別式を求めます。与えられた方程式の係数を確認すると、a = 1、b = -(p+2)、c = p^2 + 3p + 1 です。判別式Δは以下のように計算されます。
Δ = (p+2)^2 – 4(1)(p^2 + 3p + 1)
このΔが非負であることを条件として、解が実数であるためのpの範囲を求めます。
3. 解の条件「α < 0 < β」を満たすpの範囲
問題では解が「α < 0 < βかつ |α| < |β|」という条件を満たす必要があります。この条件を考慮するためには、解の公式を使い、αとβの大小関係を確認します。解の公式を使って、解の位置関係が求められます。
解の公式は以下のようになります。
α, β = (-b ± √Δ) / 2a
αとβが与えられた条件を満たすためには、pの範囲を求める必要があります。これにより、「-2 < p < (-3 + √5) / 2」という範囲が得られます。
4. 実数解であることの確認
最後に、解が実数であることを確認するために判別式Δが非負である必要があります。これを確認することで、実数解が存在することが証明できます。Δが非負であれば、αとβは実数となり、問題の条件を満たす解が得られることがわかります。
5. まとめ
今回の問題では、2次方程式の解が実数であり、かつ特定の条件を満たす範囲を求めました。判別式を使って解が実数であることを確認し、さらに解の位置関係を考慮してpの範囲を導き出しました。このような手順を踏むことで、問題を解決することができました。
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