この問題では、a, b, c の実数に対して、式 aⁿ + bⁿ + cⁿ + (a+b+c)ⁿ = (a+b)ⁿ + (b+c)ⁿ + (c+a)ⁿ が恒等式となるような実数 n の値を求める問題です。実数 n が満たすべき条件を考え、式を展開してみましょう。
式の展開と整理
まず、与えられた式を整理し、n の値による挙動を分析します。式は次のように与えられています。
aⁿ + bⁿ + cⁿ + (a+b+c)ⁿ = (a+b)ⁿ + (b+c)ⁿ + (c+a)ⁿ
まず、両辺の式において各項を展開し、どのようなパターンが現れるかを見ていきます。
n = 1 の場合の確認
最初に簡単な値である n = 1 の場合を考えます。式を代入してみましょう。
a¹ + b¹ + c¹ + (a+b+c)¹ = (a+b)¹ + (b+c)¹ + (c+a)¹
この場合、両辺の式は次のようになります。
a + b + c + (a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a)
左辺：a + b + c + (a + b + c) = 2a + 2b + 2c
右辺：(a + b) + (b + c) + (c + a) = 2a + 2b + 2c
このように、n = 1 の場合は、式が成立します。
n = 2 の場合の確認
次に n = 2 を試してみましょう。式に代入します。
a² + b² + c² + (a+b+c)² = (a+b)² + (b+c)² + (c+a)²
左辺：a² + b² + c² + (a+b+c)² = a² + b² + c² + (a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca)
右辺：(a+b)² + (b+c)² + (c+a)² = (a² + b² + 2ab) + (b² + c² + 2bc) + (c² + a² + 2ca)
左辺と右辺が異なることがわかります。したがって、n = 2 の場合は恒等式が成り立ちません。
n = 0 の場合の確認
最後に、n = 0 の場合を考えます。式に代入すると。
a⁰ + b⁰ + c⁰ + (a+b+c)⁰ = (a+b)⁰ + (b+c)⁰ + (c+a)⁰
a⁰ = 1, b⁰ = 1, c⁰ = 1 として、左辺は 1 + 1 + 1 + 1 = 4 になります。
右辺も同様に 1 + 1 + 1 = 3 となり、等式は成立しません。したがって、n = 0 の場合も恒等式は成り立ちません。
n の値が 1 であることの確認
以上の計算から、n = 1 の場合にのみ式が恒等式として成り立つことが確認できました。したがって、aⁿ + bⁿ + cⁿ + (a+b+c)ⁿ = (a+b)ⁿ + (b+c)ⁿ + (c+a)ⁿ が成り立つ n の値は 1 のみです。
まとめ
問題の式 aⁿ + bⁿ + cⁿ + (a+b+c)ⁿ = (a+b)ⁿ + (b+c)ⁿ + (c+a)ⁿ が恒等式として成り立つのは、n = 1 のときのみであることが確認されました。他の値では式が成り立たないことがわかります。数学的な問題では、各式を展開して確認することが重要です。
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