(sin(xy))/√(x² + y²) の (x, y) → (0, 0) の極限の求め方

大学数学

数学における極限の計算は、特に多変数関数の場合、さまざまな方法でアプローチできます。質問で挙げられた式 (sin(xy))/√(x² + y²) の (x, y) → (0, 0) における極限を求める方法について解説します。この記事では、極限を求めるためのステップをいくつかの方法を用いて説明します。

問題の式を理解する

与えられた問題は次の式です。

(sin(xy))/√(x² + y²)

ここで求めたいのは、(x, y) → (0, 0) のときのこの式の極限です。まず、この式の構造を理解するために、sin(xy) と √(x² + y²) の動作に注目します。

1. 直線 y = kx における極限

一つ目のアプローチは、y = kx のような直線に沿って極限を求める方法です。この方法では、y を x の関数として置き換え、x の値が 0 に近づくときに極限がどのように振る舞うかを調べます。

具体的には、y = kx とおいて式に代入します。

sin(x(kx))/√(x² + (kx)²) = sin(kx²)/√(x² + k²x²) = sin(kx²)/√(x²(1 + k²))

次に、x → 0 のとき、sin(kx²) は x² に比例するため、分子は x² に近づき、分母は x に比例します。この結果、極限は 0 となります。

2. 極座標を使った方法

次に、極座標を使って極限を求める方法を考えます。極座標では、x = r cos(θ)、y = r sin(θ) と表現できます。r → 0 のときの極限を求めます。

式は次のように変換されます。

sin(r² cos(θ)sin(θ))/√(r²) = sin(r² cos(θ)sin(θ))/r

ここで、r² は r に比べて小さいため、sin(r²) は r² に比例します。この結果、極限は 0 になります。

3. 極限の性質と結果

この問題を解く上で重要なのは、分子と分母がどのように振る舞うかを理解することです。最初に y = kx とおいて求めた結果からもわかるように、この式は (x, y) → (0, 0) のときに 0 に収束します。

また、極座標を使用した方法でも、r → 0 のときに結果が 0 になることが確認できます。これにより、式の極限は 0 であると結論できます。

まとめ

与えられた式 (sin(xy))/√(x² + y²) の (x, y) → (0, 0) における極限は、複数の方法で確認した結果、0 であることがわかりました。直線 y = kx における計算と極座標を使用した計算の両方で、極限が 0 に収束することが確認できました。このように、多変数の極限問題では、異なる方法を試すことで問題をより明確に解決できます。

コメント

タイトルとURLをコピーしました