二次不等式の解法：x² + 5x + 8 < 0 と -x² - 2x + 15 ≦ 0 の解き方

二次不等式の解法は、方程式を解くのと似ていますが、不等式を満たす範囲を求める必要があります。今回は、x² + 5x + 8 < 0 と -x² - 2x + 15 ≦ 0 の二つの不等式を解いて、解がどの範囲にあるのかを求めます。これらの問題は、因数分解や解の公式を使って解くことができます。

❶ x² + 5x + 8 < 0 の解法

まず、最初の不等式 x² + 5x + 8 < 0 を解いてみましょう。この式は、右辺が負の数になるような x の範囲を求めるものです。二次式 x² + 5x + 8 のグラフは、上に凸な放物線であるため、この式が負である部分は、放物線が x 軸より下に位置する範囲に該当します。

しかし、この式の判別式 D を計算してみると、D = 5² – 4(1)(8) = 25 – 32 = -7 となり、判別式が負の値です。したがって、この二次不等式には実数解は存在せず、x² + 5x + 8 は常に正の値を取ります。よって、x² + 5x + 8 < 0 の解は存在しません。

次に、-x² – 2x + 15 ≦ 0 の解法に進みます。この不等式も二次不等式ですが、x² の係数が負のため、放物線は下に凸です。まず、この不等式を解くために、-x² – 2x + 15 = 0 の方程式を解きます。

解の公式を使って解くと、x = (-(-2) ± √((-2)² – 4(-1)(15)))/2(-1) = (2 ± √(4 + 60))/(-2) = (2 ± √64)/(-2) = (2 ± 8)/(-2) となります。

よって、x = -5 または x = 3 となります。この式の解は x = -5 と x = 3 です。このため、不等式 -x² – 2x + 15 ≦ 0 は、x が -5 以上 3 以下の範囲で成り立ちます。

二次不等式 x² + 5x + 8 < 0 は解が存在しませんが、-x² - 2x + 15 ≦ 0 の解は、x が -5 ≤ x ≤ 3 の範囲で成り立ちます。不等式を解く際には、まず式の判別式や解の公式を使って、解の範囲を求めることが重要です。