大学数学：1,2,...,n の中でnと互いに素な数の平方の総和を求める方法

大学数学の代数学の問題「1,2,…,nの中でnと互いに素な数の平方の総和を求めなさい」という問題を解くためには、乗法的関数やメビウスの反転公式などの数学的技法を駆使する必要があります。ここでは、問題をどのように解くか、そしてどのように簡単な形で表すかを順を追って解説します。

❶ 問題の理解と式の構築

問題は、1からnまでの整数の中で、nと互いに素な数の平方をすべて足し合わせるというものです。ここで重要なのは「nと互いに素な数」とは、nと最大公約数が1である数を指すという点です。このような数は、数論における「互いに素な数」と呼ばれます。

したがって、この問題は次の式に帰着されます。

Σ (k²) (1 ≤ k ≤ n, k と n が互いに素な数)

つまり、nと互いに素な数であるkを全て選び、それらの平方を合計する必要があります。

メビウスの反転公式は、数論において多くの応用がある重要な公式で、ある種の和を別の形に変換するために使用します。この問題を解くために、メビウスの反転公式を利用することで、平方和を求める問題をより扱いやすくします。

メビウスの反転公式を用いることで、上記の和を次の形に変換できます。

Σ (k²) = Σ μ(d) * Σ (k/d)² (dはnの約数)

ここで、μ(d) はメビウス関数です。これにより、nの約数ごとに分解された和を求めることができます。

例えば、n = 6 の場合、この問題を解くために、6と互いに素な数は、1, 5 です。これらの数の平方を足すと。

1² + 5² = 1 + 25 = 26

したがって、n = 6 の場合の解は 26 となります。

この方法を用いることで、nが大きくなった場合にも、メビウス関数を使って効率的に解を求めることができます。

一般的に、nと互いに素な数の平方の総和を求める方法は、数論や代数の他の問題においても非常に役立ちます。特に、大きなnに対する計算では、メビウス関数やその他の数論的技法を駆使することで、計算が大幅に簡略化されます。

また、この技法は、整数論や暗号理論など、さまざまな分野に応用されており、学問的にも非常に重要なトピックとなっています。

この問題では、まずnと互いに素な数を見つけ、それらの平方を足し合わせるという基本的な考え方を用います。メビウスの反転公式を使うことで、和を簡単に求める方法に変換でき、より効率的に解を導くことができます。具体例を使って計算することで、より理解が深まります。

また、この方法は、代数や数論の深い理解を得るためにも非常に役立つ技術となります。次回、類似の問題に直面した際には、このアプローチを利用して解いてみましょう。