関数f : A→R と g : B→R に対して、inf_{a∈A} f(a) ≦ inf_{b∈B} g(b) を示すために、AとBが包含関係にない場合にどのような条件を満たせば良いかについて解説します。特に、∀b∈B ∃a∈A, s.t. f(a)≦g(b) を示すだけで十分かどうかについて詳しく見ていきます。
infの定義とその意味
まず、inf（インフィニット）は、ある集合における下限のことを指します。具体的には、集合Aに対するf(a)のinfは、Aの中でf(a)の値が取る最小値（または最小の下限）です。したがって、inf_{a∈A} f(a)は、Aに含まれるすべてのf(a)の値のうち、最小の値を示すものです。
同様に、g(b)に対するinf_{b∈B} g(b)は、Bの中でg(b)が取る最小値です。この2つのinfを比較して、inf_{a∈A} f(a) ≦ inf_{b∈B} g(b)が成り立つことを示す問題です。
示すべき条件と必要な証明方法
質問にあるように、AとBが包含関係にない場合でも、∀b∈B ∃a∈A, s.t. f(a)≦g(b) を示すことで、inf_{a∈A} f(a) ≦ inf_{b∈B} g(b) を示すことができます。この条件は、Bの各bに対して、Aの中にf(a)がg(b)以下となるようなaが必ず存在することを意味します。
この条件を満たすことで、Aの最小のf(a)がBの最小のg(b)より小さい、または等しいという関係を示すことができます。つまり、Bのどの要素に対しても、対応するAの要素が存在し、そのf(a)がg(b)を下回ることを証明すれば良いのです。
具体的な証明の流れ
証明の流れとしては、まず仮定として任意のb∈Bについて考えます。その後、∀b∈B に対して、f(a)≦g(b)となるようなa∈Aが存在することを示す必要があります。具体的には、bに対する最小のg(b)が、Aに対応するf(a)のinf以下であることを示します。
このようにして、AとBが包含関係にない場合でも、所定の条件を満たすことで、inf_{a∈A} f(a) ≦ inf_{b∈B} g(b)を証明することができます。
まとめ
関数fとgの下限を比較する際、AとBが包含関係にない場合でも、∀b∈B ∃a∈A, s.t. f(a)≦g(b) を示すことが重要です。この条件を満たすことで、inf_{a∈A} f(a) ≦ inf_{b∈B} g(b) を確実に証明することが可能です。しっかりと証明手順を理解し、条件を確認しながら進めていきましょう。
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