微分方程式 (1+xy)ydx + (1-xy)xdy = 0 の解法

微分方程式を解く際に重要なのは、まず方程式の形式を理解し、解法に適した方法を選択することです。今回は、与えられた微分方程式 (1+xy)ydx + (1-xy)xdy = 0 を解く方法について詳しく解説します。

問題の整理

与えられた微分方程式は次の通りです。

• (1 + xy)y dx + (1 – xy)x dy = 0

この方程式は、x と y に関する複雑な項が含まれているため、まずは整理して解く方法を考えます。

方程式の変形

この式を解くためには、まず整理を行います。dx と dy を含む項を一方にまとめ、微分方程式を扱いやすい形に変形することが必要です。

ここでは、まず y の項と x の項に着目し、両方を分けて考えることが解決への近道となります。

解法のアプローチ

この問題を解くためには、変数分離法を用いるのが効果的です。変数分離法では、x と y を別々に扱い、積分によって解を求めます。

変数分離法を適用した後は、積分を実行し、最終的な解を導きます。

解法の具体例

具体的には、式を以下の形に変形します。

• (1 + xy)y dx = -(1 – xy)x dy

次に、この式を変数分離して積分し、最終的に解を得ることができます。

まとめ

微分方程式 (1 + xy)y dx + (1 – xy)x dy = 0 を解くためには、変数分離法を用いて計算を進めることが効果的です。方程式を整理し、x と y の項を別々に扱うことで、解に至ることができます。積分計算を行うことで最終的な解を求めることができるため、このアプローチは非常に有効です。