微分方程式 y'' + 2x/(1+x²)・y' + 1/(1+x²)²・y = x/√(1+x²) の解法

微分方程式を解く際には、与えられた式に適切な解法を適用することが重要です。この記事では、微分方程式 y” + 2x/(1+x²)・y’ + 1/(1+x²)²・y = x/√(1+x²) の解法を詳しく解説します。

問題の整理と解法の選択

与えられた微分方程式は次のような形です。

y” + 2x/(1+x²)・y’ + 1/(1+x²)²・y = x/√(1+x²)

まず、微分方程式の左辺には、yの2回微分、1回微分、y自身が含まれています。右辺はxに関する関数です。このような場合、特定の方法で解くことができます。

まず、変数分離法を適用してみましょう。しかし、変数分離法をそのまま使うのは難しいため、代わりに「積分因子」を使う方法が適しています。微分方程式をその形に合わせることで、解を得やすくするための準備を行います。

この場合、y” と y’ の項が含まれているため、まずはその形を整理し、適切な積分因子を導入するステップに進みます。

積分因子を導入することで、微分方程式を解きやすくすることができます。微分方程式が線形である場合、積分因子を見つけることで解を求めやすくなります。

積分因子を見つけるためには、まずは微分方程式の形を整えます。次に、積分因子を使って解を求めていきます。最終的には、この微分方程式を解くために必要な補助関数を導入していきます。

解を得た後は、得られた解を元の微分方程式に代入し、正しいかどうかを確認することが重要です。計算を進めるうえで重要な点は、解の各項が元の式を満たすかどうかをチェックすることです。

また、問題によっては特定の境界条件が与えられていることもありますので、それらを考慮した解法を選択することも大切です。

微分方程式 y” + 2x/(1+x²)・y’ + 1/(1+x²)²・y = x/√(1+x²) を解くには、積分因子を使う方法が有効です。解を得た後は、必ず元の式に代入して正当性を確認しましょう。微分方程式を解く際は、問題の性質に応じた解法を選択することが重要です。