y=x²－4x＋1 の式を変型する方法とその意味について

数学において、式を変型することは非常に重要な手法の一つです。特に二次関数の式を変型することで、そのグラフの特徴をより理解しやすくすることができます。本記事では、式「y = x² – 4x + 1」の変型方法と、その意味について解説します。

式の変型とは？

式の変型とは、与えられた式を別の形に書き換えることを意味します。変型によって、式の特徴がより明確に表現され、問題を解く際に役立つことがあります。例えば、二次関数の場合、式を変型することで、関数の最大値や最小値、またはそのグラフがどのような形をしているのかが明確になります。

式の変型は、単に計算を進めるだけではなく、式の意味をより深く理解するための重要なステップです。

y = x² – 4x + 1 を変型する方法

与えられた式「y = x² – 4x + 1」を変型するには、平方完成という方法を使います。平方完成を行うことで、式を「y = a(x – h)² + k」という形に変形でき、これによりグラフの頂点（最大値または最小値）を簡単に見つけることができます。

まず、式「y = x² – 4x + 1」の x² と -4x の部分を、完全な平方の形に変形します。そのために、-4x の係数の半分を2で割って平方します。

平方完成の手順

1. 最初に、x² と -4x を見ます。

2. -4x の係数の半分は -2 なので、その平方は 4 です。

3. その平方を式に加えて引きます：y = x² – 4x + 4 – 4 + 1

4. これで、x² – 4x + 4 は (x – 2)² という形に変わります。

5. 最終的に、式は次のように変形されます。

y = (x – 2)² – 3

変型後の式の意味

変型後の式「y = (x – 2)² – 3」では、(x – 2)² の部分が二次関数のグラフの平方項です。この式は、グラフの頂点が (2, -3) であることを示しています。つまり、元の式のグラフは、x = 2 の位置で最小値 -3 を取ることがわかります。

平方完成を使った変型によって、式が「y = a(x – h)² + k」という標準的な形に変わり、グラフの頂点を簡単に求めることができるようになります。

変型の実際の効果と応用

このように式を変型することで、二次関数のグラフを描くときに非常に役立ちます。平方完成を行うと、頂点の座標がすぐにわかり、グラフの形が明確になります。例えば、y = (x – 2)² – 3 の場合、頂点は (2, -3) となり、x 軸との交点を求める際や、最大・最小値を求める際に役立ちます。

また、この方法は二次関数だけでなく、さまざまな数学の問題に応用可能です。関数のグラフを理解し、さらに解析を深めるためには、この変型方法をしっかりと理解することが重要です。

まとめ

式の変型、特に平方完成は、二次関数をより深く理解するための強力なツールです。式「y = x² – 4x + 1」を平方完成を使って「y = (x – 2)² – 3」に変形することで、グラフの頂点を簡単に求めることができ、問題を効率的に解くことができます。式の変型は、数学の問題を解く上で非常に有効な方法であり、さらに深い理解を得るために欠かせません。