この問題では、赤玉、青玉、黒玉の組み合わせを使って共分散（Cov）を求める問題です。質問者は、-np1p2を使用した場合とE(x.y)-E(x)E(y)を使用した場合で、共分散の値が一致しないことに疑問を持っています。今回は、その違いが生じる理由について詳しく解説します。
共分散の定義とその計算方法
共分散とは、2つの確率変数がどれだけ一緒に変動するかを示す指標です。具体的には、共分散は以下の式で求められます。
Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]
また、共分散を計算する際に、次のような式を使うこともできます。
Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)
「-np1p2」を使った計算とその意味
問題の最初の部分で触れられている「-np1p2」を使った計算方法は、実際には標本数に基づく共分散の計算に関するものです。これを用いることで、サンプルから得られる近似値が得られます。この式は、サンプル平均を使った共分散の計算式に関係しています。
実際に計算してみると、この方法で求めた共分散が-3/10である理由は、標本サイズに基づく補正が加わるためです。
E(x.y)-E(x)E(y)を使った計算方法の誤差
一方で、E(x.y)-E(x)E(y)という式を使って計算すると、得られる値は3/20になることがあります。これは、共分散を求める際に期待値の計算方法に違いが生じることに起因しています。
具体的には、E(x)とE(y)のそれぞれが正確に計算されていない、または誤差が生じる場合に、このような差異が出ることがあります。
共分散の計算における注意点
共分散を計算する際には、次の点に注意が必要です。
- サンプルサイズや標本数を考慮する必要がある。
- 期待値の計算方法を正しく行う。
- 異なる計算方法が使われることがあるため、求めたい共分散の定義に基づいて適切な式を選択する。
まとめ
今回の質問に関して、-np1p2を使用した場合とE(x.y)-E(x)E(y)を使用した場合で得られる共分散が異なる理由は、計算方法の違いに起因しています。前者は標本サイズを考慮した方法であり、後者は期待値の計算に基づく方法です。計算時にどちらの方法を使うべきかは、問題の文脈に依存しますので、その都度適切な方法を選択しましょう。
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