不定方程式 4x + 5y = 2 の整数解を求める方法について、問題の解き方と手順を詳しく解説します。質問者は途中まで解いているものの、その先がわからないとのことですので、ステップバイステップで解決策を提供します。
不定方程式とは？
不定方程式は、複数の変数に対して解が無限に存在する場合の方程式です。特に整数解を求める問題は、よく登場します。この問題では、変数 x と y の整数解を求めることが目的です。
問題の式とその意味
与えられた方程式は 4x + 5y = 2 です。この式の解を求めるためには、まず1組の解を見つけ、その解を使って他の解を求める方法が有効です。質問者は x=3 と y=2 が解の一つであることを発見しています。
式 4×3 + 5×2 = 2 は成立しており、この x=3 と y=2 は不定方程式の整数解の一つです。
次のステップ：式の変形
質問者は次に式を変形して、4(x – 3) = 5(y – 2) という新しい式に到達しています。これは正しい手順です。この変形は、与えられた方程式から解の一般的な形式を導き出すための重要なステップです。
具体的には、与えられた方程式から x と y の差に関する新たな式を作ることにより、解が整数である条件を満たす範囲を求めることができます。
一般解の導出
変形した式 4(x – 3) = 5(y – 2) を解くと、x と y の一般的な解を求めることができます。この式をさらに進めると、最終的に次の式が得られます。
x = 5n – 2, y = -4n + 2 (n は整数)
ここで n は任意の整数です。この式が示すのは、x と y は特定のパターンで変動し、無限に解が存在することです。
まとめ
不定方程式 4x + 5y = 2 の整数解を求める方法は、まず特定の解を見つけ、その解を基に一般解を求めることです。質問者が行った途中の式変形は正しいものであり、最終的に解は x = 5n – 2, y = -4n + 2 (n は整数) という形で表されます。この方法を用いることで、無限に解を求めることができます。
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