△APBの面積の最大値を求める方法 – 数Ⅰ問題の解説

この問題は、点P(t,t²) が放物線 y=x² 上の点で、2点 A(-1,1) と B(4,16) の間にある時に、△APBの面積の最大値を求めるというものです。指針には『点Pを通り x軸と垂直な直線と、線分ABとの交点をQとすると △APB=△APQ+BPQ』とあります。これを踏まえて、問題を解く方法をわかりやすく解説していきます。

問題の整理と△APBの面積

まず、△APBの面積を求めるためには、三角形の面積の公式を使います。三角形の面積は、底辺と高さを使って求めることができます。ここでは、点Aと点Bを結ぶ線分ABを底辺とし、点Pを通る直線を高さとして、面積を求めます。

指針の解釈と△APQ, △BPQの面積

問題で与えられた指針『△APB = △APQ + △BPQ』を用います。ここで、△APQは、点Aから点Pまでの距離を底辺として、点Qを頂点とした三角形の面積を求めます。同様に、△BPQは、点Bから点Pまでの距離を底辺として、点Qを頂点とした三角形の面積を求めます。

面積の最大化

次に、面積が最大となる点Pを求めるために、点Pの座標を変化させていきます。点Pの座標はtによって決まるので、tを変数として、面積を最大にするtの値を求める必要があります。具体的には、tを変化させることによって、面積の式を導出し、最大値を求めます。

まとめと結論

この問題を解くためには、△APBの面積を△APQと△BPQに分け、それぞれの三角形の面積を求めることが重要です。最後に、面積が最大となるtの値を見つけ出すことで、△APBの面積の最大値を求めることができます。数学的な思考と計算が求められる問題です。