微分方程式 xy^3dx + (x^2y^2 – 1)dy = 0 の解法

微分方程式 xy^3dx + (x^2y^2 – 1)dy = 0 を解く方法について、ステップバイステップで解説します。この問題を解くためには、変数分離法や積分因子を使うアプローチを試みることが一般的です。まずは式を整理し、解法を見ていきましょう。

1. 微分方程式の整理

与えられた微分方程式は次の形です：
xy^3dx + (x^2y^2 – 1)dy = 0

この式は2つの項から成り立っています。まず、微分方程式を変形して、変数を分離することを目指します。

2. 変数分離法による解法

微分方程式を変数分離法を用いて解くために、まず式を次のように整理します：
xy^3dx = -(x^2y^2 – 1)dy

次に、式を x と y に関する項に分けます：
(1/(x^2y^2 – 1)) dy = -(y^3/x) dx

これで、変数が分離されました。この形にした後、それぞれの項を積分していきます。

3. 積分して解を求める

積分を行い、解を求めるステップです。両辺を積分していきます：
∫ (1/(x^2y^2 – 1)) dy = – ∫ (y^3/x) dx

積分を進めて、最終的な解を求めます。ここで、積分定数も含めて解答が得られます。

4. まとめと結論

微分方程式 xy^3dx + (x^2y^2 – 1)dy = 0 を解くためには、変数分離法を用いて式を整理し、両辺を積分することで解を求めることができます。この問題を解くことにより、微分方程式の基本的な解法を理解することができます。

解答は積分を行い、定数を考慮した最終的な形で得られます。積分の過程を理解し、実際に問題を解くことで、より深く微分方程式の解法を習得できます。