y = -x² - 4x - 2 の解き方と途中式の解説

数学の問題で、二次方程式 y = -x² – 4x – 2 を解く方法を知りたい方に向けて、途中式を含めて解説します。まずは、この方程式の基本的な形を理解し、次にその解法のステップを詳しく見ていきましょう。

1. 二次方程式の基本形

まず、与えられた方程式は y = -x² – 4x – 2 という形の二次方程式です。これは、一般的な二次方程式 y = ax² + bx + c の形式に一致します。ここで、a = -1, b = -4, c = -2 となっています。

二次方程式を解くためには、平方完成や解の公式を使います。今回は、平方完成を使って解法を進めます。

平方完成の方法を使って、式を解くためのステップは次の通りです。

y = -x² – 4x – 2 を y = -(x² + 4x) – 2 の形に変形します。

次に、括弧内の x² + 4x を平方完成します。平方完成のためには、(b/2)² を加えると良いです。ここで b = 4 なので、(4/2)² = 4 となります。したがって、x² + 4x + 4 を加えて引きます。

式は次のように変形されます：
y = -(x² + 4x + 4) + 4 – 2 = -(x + 2)² + 2

この式 y = -(x + 2)² + 2 は、標準的な二次関数の頂点形式に変形されたものです。ここで、(x + 2)² の項は、x = -2 で最小値を取ることがわかります。したがって、この二次関数のグラフは、x = -2 の地点で最大値 2 を取ることになります。

y = -x² – 4x – 2 の方程式を解くために、平方完成を使って式を簡単にし、その後、頂点形式に変形しました。この方法で、二次方程式のグラフの特徴や解の求め方が理解できるようになります。平方完成の技法は二次方程式を解くための重要なスキルですので、しっかり覚えておきましょう。