数学の問題で、関数 f(x) = √2(sin x + cos x) − 2sin x cos x − 1 の解析について質問がありました。特に、(4) の問題で方程式 f(x) = P が 0 ≦ x ≦ π の範囲で異なる 3 つの実数解を持つような定数 P の値を求める方法に焦点を当てて解説します。
問題の整理と解法のアプローチ
この問題を解くためには、まず関数 f(x) を簡単に表現し、その最大値と最小値を求めます。次に、(4) の問題を解くためには、方程式 f(x) = P の解を求め、その解が 0 ≦ x ≦ π の範囲で異なる 3 つの実数解を持つ条件を探ります。
(1) sin x + cos x = t として y を t の式で表す
まず、与えられた関数 f(x) を t = sin x + cos x と置き換えて、式を整理します。t を使うことで、関数の形が単純化され、計算がしやすくなります。f(x) の式は次のように書き換えられます。
f(x) = √2t − 2(sin x)(cos x) − 1
ここで、sin x cos x は t を使って表せるので、最終的に y = f(x) は t の式で表現されます。
(2) t の取り得る範囲を求めよ
t = sin x + cos x の範囲を求めるためには、t の最大値と最小値を考えます。これを求めるには、t の式を平方して、二項定理を使います。sin²x + cos²x = 1 を利用すると、t の範囲は −√2 ≦ t ≦ √2 となります。
(3) y = f(x) の最大値と最小値を求めよ
次に、t の範囲を基に、y = f(x) の最大値と最小値を求めます。t の最大値と最小値をそれぞれ代入し、y の値を計算します。これにより、y の最大値と最小値を特定することができます。
このとき、t の最大値は √2 で、最小値は −√2 です。したがって、y の最大値と最小値を求めるには、これらの値を関数に代入するだけです。
(4) 方程式 f(x) = P が 0 ≦ x ≦ π の範囲に異なる 3 つの実数解を持つ P の値を求めよ
方程式 f(x) = P が 0 ≦ x ≦ π の範囲に異なる 3 つの実数解を持つ条件を求めるには、f(x) の最大値と最小値を基に、P がその範囲にどのように影響するかを調べる必要があります。
f(x) の最大値と最小値を考慮して、P の値を適切に設定することで、解が 3 つの実数解を持つような P の値を求めます。この条件を満たす P の値は、関数の挙動から導かれる範囲内で決定されます。
まとめ：問題の解法とそのアプローチ
この問題では、まず与えられた関数を簡単に表現し、その範囲や最大値、最小値を求めることが重要です。特に、(4) の方程式において異なる 3 つの実数解を持つ P の値を求めるためには、f(x) の挙動をよく理解し、条件を満たす P を特定することが求められます。
この問題を解くことで、関数の性質を深く理解し、似たような問題にも対応できる力を養うことができます。
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