この問題では、絶対値を含む不等式 A = |2a – 1| の解き方についての疑問が提起されています。特に、a≦1/2 の場合と a＜1/2 の場合の区別について解説します。なぜこのように考えるのかを理解するためには、絶対値を含む不等式の取り扱い方をしっかり理解することが大切です。
絶対値の不等式とは？
絶対値を含む不等式は、数学の中でも重要なテーマの一つです。絶対値とは、数の大きさを表すものであり、数式においてその数がどれだけ離れているかを示します。例えば、|x| ≤ 3 は、x の範囲が -3 から 3 までであることを示します。
このような不等式を解くためには、絶対値の中身が正か負かによって場合分けを行う必要があります。そのため、解く際には条件に分けて解くことが一般的です。
a≦1/2 と a＜1/2 の違い
今回の問題では、なぜ a≦1/2 の時と a＜1/2 の時で異なる解き方が必要なのかという点が問題です。この違いを理解するために、まず絶対値を解く方法を考えましょう。
絶対値 |2a – 1| の不等式を解くために、まずはその中身である 2a – 1 の符号によって場合分けをします。絶対値の定義に従って、2a – 1 が正である場合と負である場合で解法が異なります。
場合分けの必要性
1つ目のケースは、2a – 1 が0以上である場合です。この時、|2a – 1| = 2a – 1 となり、不等式は単純に 2a – 1 ≤ 1 または 2a – 1 ≥ -1 として解くことができます。
2つ目のケースは、2a – 1 が0未満である場合です。この場合、|2a – 1| = -(2a – 1) となり、不等式は -2a + 1 ≤ 1 または -2a + 1 ≥ -1 として解くことができます。
a≦1/2 の場合と a＜1/2 の場合
a≦1/2 の時と a＜1/2 の時では、取りうる範囲が異なります。a≦1/2 の場合には、a = 1/2 が含まれますが、a＜1/2 の場合には、a = 1/2 は含まれません。この違いが解の範囲に影響を与え、解法が変わる理由です。
具体的には、a≦1/2 の場合には、その値が 1/2 に近い場合でも成立する解が存在します。一方、a＜1/2 の場合には、1/2 より小さい範囲で解が求められます。このため、解の範囲に違いが生じ、解法のアプローチも異なります。
まとめ
絶対値を含む不等式を解く際、符号による場合分けが必要です。また、a≦1/2 と a＜1/2 の違いは、解く際に取りうる範囲が異なるため、解法に影響を与えます。絶対値の問題では、この違いを理解することが重要です。
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