f(x,y) = xy(x² + y² - 1) の極値を求める方法

この問題では、関数 f(x,y) = xy(x² + y² – 1) の極値を求める方法を解説します。まず、偏微分を行い、次に連立方程式を解いて停留点を求めます。この過程を順を追って見ていきましょう。

1. 偏微分を求める

関数 f(x,y) = xy(x² + y² – 1) の偏微分をそれぞれ求めます。まず、xについて偏微分したものを fₓ(x,y) とし、yについて偏微分したものを fᵧ(x,y) とします。

まず、xについて偏微分すると、次のようになります：
fₓ(x,y) = y(x² + y² – 1) + xy(2x) = y³ + 3x²y – y

次に、yについて偏微分すると、次のようになります：
fᵧ(x,y) = x(x² + y² – 1) + xy(2y) = x³ + 3xy² – x

次に、得られた fₓ(x,y) = y³ + 3x²y – y と fᵧ(x,y) = x³ + 3xy² – x の連立方程式を解きます。この連立方程式を解くことで、停留点を求めることができます。

まず、fₓ(x,y) = 0 と fᵧ(x,y) = 0 の2つの方程式を解きます。具体的には、以下のステップで進めます。

fₓ(x,y) = y³ + 3x²y – y = 0 から、y(x³ + 3x² – 1) = 0 となります。y = 0 または x³ + 3x² – 1 = 0 のどちらかを満たすことがわかります。

y = 0 の場合、fᵧ(x,y) = x³ – x = 0 となります。これを解くと x = 0 または x = 1 となります。

x³ + 3x² – 1 = 0 を解くと、x の値が求まります。これらの解を y の値と組み合わせると、停留点が得られます。

得られた停留点を確認するためには、得られた x, y の値を関数 f(x, y) に代入してその値を確認します。もし極値がある場合、その点は局所最大値または局所最小値となります。

f(x,y) = xy(x² + y² – 1) の極値を求めるには、まず偏微分を求め、得られた連立方程式を解いて停留点を求めます。その後、得られた停留点が極値であるかどうかを確認します。この方法で問題を解決することができます。